FUNCIONES

Una función es un objeto matemático que se utiliza para expresar la dependencia entre dos magnitudes, y puede presentarse a través de varios aspectos complementarios. Un ejemplo habitual de función numérica es la relación entre la posicion y el tiempo en elmovimiento de un cuerpo.

Las funciones pueden definirse en términos de otros objetos matemáticos, como los conjuntos y los pares ordenado. En particular, una función es un caso particular de relación, binarias luego su esta definición está basada en la que se adopte para las relaciones. En el enfoque «extensivo» se identifica una función con graficar:

Una función es un conjunto f de pares ordenados tal que no contiene dos pares distintos con la misma primera componente:

$(a,b),\,(a,c)\in f\Rightarrow b=c$

El dominio (la imagen) de la función es entonces el conjunto de primeras (segundas) componentes:

$\begin{align} &\text{Dom}(f)=\{a:\text{ Existe }b\text{ con }(a,b)\in f\}\\ &\text{Im}(f)=\{b:\text{ Existe }a\text{ con }(a,b)\in f\} \end{align}$

Como representar una función:

Una función puede representarse de diversas formas: mediante el citado algoritmo para obtener la imagen de cada elemento, mediante una tabla de valores que empareje cada valor de la variable independiente con su imagen —como las mostradas arriba—, o como una gráfica que dé una imagen de la función.

Tipos de Funciones

En matemáticas, una función, aplicación o mapeo f es una relación entre un conjunto dado X (el dominio) y otro conjunto de elementos Y (el con dominio) de forma que a cada elemento x del dominio le corresponde un único elemento del con dominio f(x).

v Funciones Algebraicas

En las funciones algebraicas las operaciones que hay que efectuar con la variable independiente son: la adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación.

v Funciones explícitas

Si se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución.

v Funciones Implícitas

Si no se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución, sino que es preciso efectuar operaciones.

v Funciones Polinómicas

Son las funciones que vienen definidas por un polinomio.

$f(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^{2} + a_3 x^{3} + ... + a_n x^{n}$

v Funciones Constantes

El criterio viene dado por un número real.

v Funciones Polinómica De Primer Grado

v Función Cuadrática

$f(x) = ax^{2} + bx + c$

Son funciones polinómicas es de segundo grado, siendo su gráfica una parábola.

v Funciones Racionales

El criterio viene dado por un cociente entre polinomio:

v Obtener el dominio de una función

http://www.youtube.com/watch?v=nuv1pvE6TKE&feature=fvwrel

Límite

El límite es un concepto que describe la tendencia de una sucesión o una función, a medida que los parámetros de esa sucesión o función se acercan a determinado valor. En calculo (especialmente en análisis real y matemático) este concepto se utiliza para definir los conceptos fundamentales de , convergencia,continuidad, derivación, integración, entre otros.

Límite de una función

En análisis real para funciones de una variable, se puede hacer una definición de límite similar a la de límite de una sucesión, en la cual, los valores que toma la función dentro de un intervalo se van aproximando a un punto fijado c, independientemente de que éste pertenezca al dominio de la función. Esto se puede generalizar aún más a funciones de varias variables o funciones en distintos espacios metricos.

Informalmente, se dice que el límite de la función f(x) es L cuando x tiende a c, y se escribe:

$\lim_{x\to c} \, \, f(x) = L$

si se puede encontrar para cada ocasión

Un x suficientemente cerca de c tal que el valor de f(x) sea tan próximo a L como se desee.

Para un mayor rigor matemático se utiliza la definición épsilon-delta de límite, que es más estricta y convierte al límite en una gran herramienta del análisis real. Su definición es la siguiente:

"El límite de f(x) cuando x tiende a c es igual a L si y sólo si para todo número real ε mayor que cero existe un número real δ mayor que cero tal que si la distancia entre x y c es menor que δ, entonces la distancia entre la imagen de x y L es menor que ε unidades".

Esta definición, se puede escribir utilizando términos lógico matemática y de manera compacta:

$\begin{array}{l} \underset {x\to c}{\lim} \, \, f(x) = L \iff \forall \varepsilon > 0 \ \ \exists \ \delta > 0 : 0<|x-c|<\delta \longrightarrow |f(x)-L|<\varepsilon \end{array}$

Calculo de límite en el punto:

Si el f(x) es una función y esta definida en el punto A para calcular el límite se sustituye en la función al valor que tiene la X

Teorema de límites

Unicidad del límite de una función

Si una función tiene límite es único.

H) Existe lim_x->af(x)=b
T) b es único

v Demostración

La demostración se hace por reducción al absurdo.
Suponemos que f(x) tiene dos límites distintos b y c, cuando x tiende a a.
Suponemos que b > c.

lim_x->af(x)=b => (por def. de límite) para todo E_b,ε existe un E^*_a,δ1 / para todo x perteneciente al E^*_a,δ1 f(x) pertenece al E_b,ε.

lim_x->af(x)=c => (por def. de límite) para todo E_c,ε existe un E^*_a,δ2 / para todo x perteneciente al E^*_a,δ2 f(x) pertenece al E_c,ε.

Consideremos un ε tal que E_b,ε ∩ E_c,ε = Ø.

Queremos que c+ε < b-ε => ε < (b - c)/2

Sea δ = min {δ1,δ2}

Para todo x perteneciente al E^*_a,δ se cumple

f(x) pertenece a E_b,ε
f(x) pertenece a E_c,ε

Absurdo, pues f(x) no puede pertenecer a dos entornos disjuntos.
Absurdo de suponer b ≠ c.
Por lo tanto b = c.

v Tipo de límite

http://www.youtube.com/watch?v=1FUsHB1wgAM&feature=related

Derivada

La derivada de una función f en un punto x se denota como f′(x). La función cuyo valor en cada punto x es esta derivada es la llamada función derivada de f, denotada por f′. El proceso de encontrar la derivada de una función se denomina diferenciación, y es una de las herramientas principales en el área de las matemáticas conocida como cálculo.

La derivada es un concepto que tiene variadas aplicaciones. Se aplica en aquellos casos donde es necesario medir la rapidez con que se produce el cambio de una magnitud o situación. Es una herramienta de cálculo fundamental en los estudios de Física, Química y Biología, o en ciencias sociales como la Economía y la Sociología. Por ejemplo, cuando se refiere a la gráfica de dos dimensiones de , se considera la derivada como la pendiente de la recta tangente del gráfico en el punto . Se puede aproximar la pendiente de esta tangente como el límite cuando la distancia entre los dos puntos que determinan una recta secante tiende a cero, es decir, se transforma la recta secante en una recta tangente. Con esta interpretación, pueden determinarse muchas propiedades geométricas de los gráficos de funciones, tales como concavidad o convexidad.

Algunas funciones no tienen derivada en todos o en alguno de sus puntos. Por ejemplo, una función no tiene derivada en los puntos en que se tiene una tangente vertical, una discontinuidad o un punto anguloso. Afortunadamente, gran cantidad de las funciones que se consideran en las aplicaciones son continuas y su gráfica es una curva suave, por lo que es susceptible de derivación.

v Ejemplo

Encuentra la derivada de:

$g(x)= \sqrt{(1+2x)}$

$g'(x)=\lim_{h\to 0} \frac{\sqrt{1+2(x+h)}-\sqrt{1+2x}}{h}$

Racionalizando:

$g'(x)=\lim_{h\to 0} \frac{\sqrt{1+2(x+h)}-\sqrt{1+2x}}{h} * \frac{\sqrt{1+2(x+h)}+\sqrt{1+2x}}{\sqrt{1+2(x+h)}+\sqrt{1+2x}}$

$g'(x)=\lim_{h\to 0} \frac{1+2x+2h-1-2x}{h(\sqrt{1+2x+2h}+\sqrt{1+2x})}$

$g'(x)=\lim_{h\to 0} \frac{2h}{h(\sqrt{1+2(x+h)}+\sqrt{1+2x})}$

$g'(x)=\lim_{h\to 0} \frac{2}{\sqrt{1+2(x+h)}+\sqrt{1+2x}}$

Calculamos el límite:

$g'(x)=\lim_{h\to 0} \frac{2}{\sqrt{1+2(x+h)}+\sqrt{1+2x}}$

$g'(x)=\lim_{h\to 0} \frac{2}{\sqrt{1+2(x+0)}+\sqrt{1+2x}}$

$g'(x)=\lim_{h\to 0} \frac{2}{\sqrt{1+2x}+\sqrt{1+2x}}$

$g'(x)= \frac{2}{2\sqrt{1+2x}}$

$g'(x)= \frac{1}{\sqrt{1+2x}}$

Algunas fórmulas de derivadas

Derivada de una constante

Derivada de x

v Derivada de función afín

Derivada de una potencia

v Derivada de una raíz cuadrada

Derivada de una raíz

v Derivada de suma

Derivada de de una constante por una función

v Derivada de un producto

Derivada de constante partida por una función

v Derivada de un cociente

v Derivada de la función exponencial

Derivada de la función exponencial de base e

v Derivada de un logaritmo

DERIVADA DE UNA FUNCION EN UN PUNTO

Sea una función y = f(x) y x₀ un punto del eje X. Si se toma un punto x₀ + h muy próximo a x₀ (h es un número infinitamente pequeño), a medida que se hace tender h a cero, la recta secante (en rojo de la figura) que une los puntos
( x₀, f(x₀ ) ) y ( x₀ + h, f(x₀ + h) ), tiende a confundirse con la tangente (en azul de la figura) a la curva en el punto (x₀,f(x₀ )).

que determina la tangente con ese mismo eje, en el triángulo rectángulo de vértices

(x₀,f(x₀ )), (x₀ + h,f(x₀ + h)) y (x₀ + h,f(x₀ )), se verifica:

Al hacer tender h a cero, y puesto que la secante tiende a confundirse con un segmento
de la tangente, es decir, si miras la figura, al hacer que h tienda a cero la línea roja se acerca a la línea azul por lo que:
tg a_h tiende a tg a, es decir, la pendiente de la tangente a la curva en el punto (x₀,f(x₀ )).
Esto se expresa matemáticamente así:

Derivada de una función en un punto

Dada una función y = f(x), se llama derivada de la función f en un punto x0 al

f '(x₀ ) (efe prima de equis sub-cero) o por D(f(x0 )):

Cuando este límite existe (y es finito) se dice que la función f(x) es derivable en el punto x₀.

v Derivada de una suma

http://www.youtube.com/watch?v=bECDIDbBHbw

matematica

jueves, 22 de noviembre de 2012

Aplicación de la matemática